Mathematical Definition

對於連續（continuous）函數： $$ (f \star g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau $$ 對於離散（discrete）函數： $$ (f \star g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m] g[n - m] $$ 其中 $t, n$ 稱為移位（displacement）或滯後（lag），若 $t, n=0$ 則 $(f * g)(0)$ 等於$f$與X軸反轉的 $g$ 的相乘積分或相乘加總，可以用一個簡單的 python 展示 $n=0$ 時的離散函數卷積：